A(M)Cademy of VIBROdiagnostics

#9 Czym jest resampling?

Resampling, formalnie zwany „przepróbkowaniem” sygnału, jest operacją matematyczną przekształcającą sygnał z dziedziny czasu do dziedziny kąta. Resampling jest wykonywany głównie w celu redukcji negatywnego wpływu zmiennej prędkości obrotowej maszyny na identyfikację komponentów widmowych badanego sygnału.

Na czym polega resampling?

Przyjmijmy, że mamy sygnał drgań w postaci szeregu liczbowego – klasyczne „x” i równolegle zarejestrowany sygnał znacznika fazy (z ang. Phase Marker – PM) w postaci [0 … 0 0 1 0 0 ….. 0 0 1 0 … 0], w którym wartość „1” oznacza kolejny obrót wału referencyjnego, co zilustrowano na Rys. 1.

Rys. 1 Idea sygnału znacznika fazy (PM) w trybie „raz na obrót”

W wyniku resamplingu, „normalny” sygnał, tj. zebrany ze stałą ilością próbek w jednostce czasu, np. w ilości 25 tys. próbek na sekundę, czyli z częstotliwością próbkowania równą 25 kHz, jest przekształcany na sygnał ze stałą ilością (np. 20) próbek na obrót. Na Rys. 2 i Rys. 3 przedstawiono poglądowo jak wygląda resampling sygnału drgań o zmniejszającej się częstotliwości podstawowej. Jest to dobry przykład drgań z maszyny, której prędkość obrotowa zmniejsza się.

Rys. 2 Sygnał ze stałą ilością próbek w jednostce czasu

Rys. 3 Sygnał ze stałą ilością próbek na obrót

Porównując Rys. 2 z Rys. 3 widać, że w oryginalnym sygnale, pierwszy obrót jest szybszy od pierwszego obrotu w sygnale zresamplowanym, z kolei w przypadku ostatniego, trzeciego obrotu, jest odwrotnie. To wrażenie jest słuszne, gdyż wynika z tego, że im wyższa prędkość obrotowa wału, tym naturalnie mniejsza ilość próbek na obrót. W sygnale wyjściowym zmiany prędkości nie są widoczne, a na osi X zamiast czasu pojawił się kąt obrotu. Na każdy obrót wału przypada taka sama liczba próbek.

Miejsce resamplingu w analizie danych

Resampling jest przeprowadzany w dwóch ścieżkach, w zależności od rodzaju systemu, w którym pracujemy:

system DIAGNOSTYKI -> resampling wykonywany na żądanie

system MONITOROWANIA -> resampling wykonywany automatycznie

W przypadku systemu diagnostyki, resampling jest wykonywany na żądanie użytkownika (eksperta diagnosty), głównie w celu wyświetlania widma w dziedzinie rzędów (z ang. Order Spectrum – OS), co pokazano na Rys. 4.

Rys. 4 Resampling w systemie diagnostyki drganiowej

Na Rys. 4 przedstawiono łącznie nazwy 10 różnych typów figur często spotykanych w systemach analizy diagnostycznej z podziałem na poszczególne etapy przetwarzania sygnałów, które wykorzystują resampling. Blok FFT oznacza obliczenie widma w pełnej rozdzielczości, natomiast blok PSD z ang. Power Spectrum Density) oznacza widmo uśrednione (zwykle widmo mocy sygnału). Podgrupa „Envelope” dotyczy widma obwiedni (zob. post #7) z sygnału zresamplowanego (z ang. Envelope Order Spectrum – EOS). Blok TSA dotyczy analizy synchronicznej sygnału (z ang. Time-Synchronous Averaging), która jest wykorzystywana do analizy sygnałów drgań z układów napędowych o względnie dużej liczby stopni przełożeń. W systemach zaawansowanych, stosuje się również filtrację resztkową (zwaną potocznie z ang. analizą Residual), w celu separacji komponentów sygnału drgań różnych klas.

Z kolei w systemach monitorowania, resampling jest operacją wewnętrzną w systemie, czyli operacją niewidoczną dla użytkownika. Na Rys. 5 przedstawiono ogólny schemat, w którym oryginalny sygnał drgań jest najpierw zresamplowany, a potem przekształcony na jedną z postaci widmowych (zgodnie z Rys. 4). Następnie, na podstawie skonfigurowanych analiz wąskopasmowych (zob. post #3), system wyznacza pasmo widmowe (indeksy szeregu), z którego obliczana jest finalna wartość punktu trendu. Następnie, te wartości są porównywane z progami alarmowymi, co stanowi istotę tzw. zdarzeń (z ang. events).

Rys. 5 Resampling w systemie monitorowania (systemie wbudowanym)

Jak widać, resampling jest operacją matematyczną, która nie pełni autonomicznej roli w systemie CMS, ale jest operacją pośrednią, wykonywaną przez funkcję czy bibliotekę, dlatego dalej omówimy szczegółowo ostateczną funkcjonalność tej metody z punktu widzenia użytkownika systemu/inżyniera diagnosty.

Co konkretnie daje resampling?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, dobrze jest przyjąć systematykę z poprzedniej sekcji, dlatego że pokazany podział architektury przekłada się na funkcjonalność dla użytkownika. W przypadku systemów diagnostyki, resampling umożliwia łatwiejszą identyfikację deterministycznych komponentów widmowych typu phase-locked (czyli takich, których częstotliwość zmienia się wraz z prędkością obrotową maszyny). Resampling jest zatem metodą przetwarzania sygnałów, umożliwia przejście z dziedziny Hz do dziedziny order – w tym miejscu przywołajmy odpowiedni rysunek z postu #8.

Rys. 6 Porównanie widma częstotliwościowego i widma w dziedzinie rzędów

Jak pokazano na Rys. 6, dla maszyny pracującej z prędkością w przedziale 1045-1100 RPM (zob. Rys. 6 z postu #8),  komponent zazębiania GMF = 70 order znajduje się w przedziale 1219-1283 Hz, co powoduje, że jest on rozmyty, a tym samym trudny do identyfikacji. O ile ten komponent jest jakoś widoczny na widmie częstotliwościowym, o tyle wstęgi boczne są widoczne tylko po resamplingu. Z kolei na widmie w dziedzinie rzędów – a więc widmie sygnału zresamplowanego (tu w pełnej rozdzielczości), nawet dla tak wysokich częstotliwości i nawet dla tak dużych wahań prędkości, komponent zazębiania jest wyraźnie widoczny, i to właśnie z parą dominujących wstęg bocznych (+/- ord*2).

Odwołując się do przedstawionej roli resamplingu w systemie monitorowania pracującym w sposób autonomiczny należy zauważyć, że w przypadku analizowanego komponentu zazębiania, jego trend jest związany z wyznaczonym pasmem widmowym i działa inaczej w przypadku dwóch rodzajów widm. Rys. 7 pomoże nam wyjaśnić 2 zasadnicze problemy. Przede wszystkim, zauważmy że dla dziedziny częstotliwości (Rys. 7 – góra) położenie pasma zależy od prędkości obrotowej, a więc przy każdej zmianie prędkości trzeba przeliczać je od nowa. Ponadto, wartości graniczne pasma zaznaczonego na Rys. 7 (góra) zostały wyznaczone a posteriori na podstawie zakresu zmienności prędkości obrotowej. Wyraźnie widać, że trudno byłoby wyznaczać konsekwentne wartości graniczne bez tych danych. Natomiast w przypadku widma w dziedzinie rzędów, zaznaczono pasmo, którego środek jest zawsze w tym samym miejscu (70-ty order), a którego szerokość można z łatwości ustawić – typowo jako 3% wartości środkowej pasma (na Rys. 7 – dół w celach łatwej wizualizacji przyjęto szerokość pasma równą +/-2.8%).

Rys. 7 Definicja pasm widmowych dla widma częstotliwościowego i widma w dziedzinie rzędów

Omówione analizy dotyczą śledzenia mocy (rzadziej RMS, czy energii) sygnału w pasmach, które obejmują kilkadziesiąt, a czasem kilkaset punktów widmowych. Natomiast w przypadku gdy śledzone są pojedyncze wartości szczytowe z pasm (wartości maksymalne amplitudy), znaczenie resamplingu jest jeszcze większe, ponieważ rozmyte widma nie nadają się do wyznaczania takich komponentów.

Uśrednianie synchroniczne

Sygnał zresamplowany może być w kolejnym kroku uśredniony względem obrotów wału, co znacznie polepsza stosunek sygnału (w tym przypadku deterministycznych komponentów synchronicznych) do szumu. Taka analiza nazywa się analizą „uśrednioną synchronicznie” – w jęz. angielskim jest nieco gorzej, gdyż historycznie zwana jest analizą TSA, od ang. Time-Synchronous Averaging, chociaż uśrednianie jest wykonywane w dziedzinie kąta, a nie czasu. Rys. 8 przedstawia kolejno od góry: fragment oryginalnego sygnału drgań przypadający na jeden obrót wału, fragment zresamplowanego sygnału drgań przypadającego na ten sam jeden obrót wału oraz sygnału uśrednionego TSA, który zawiera tylko jeden obrót wału. Dodatkowo, na wykresie środkowym i dolnym kolorem niebieskim zaznaczono sygnał zresamplowany względem wału szybkiego (z ang. Fast Shaft – FS), a czerwonym sygnał zresamplowany względem wału wolnego (z ang. Slow Shaft – SS). Na sygnałach TSA, kolejno dla wału szybkiego widzimy 23 cykle, a dla wału wolnego 67 w trakcie jednego obrotu, gdyż wały są połączone przekładnią jednostopniową o kołach zębatych z odpowiednio 23 i 67 zębami.

Rys. 8 Definicja pasm widmowych dla widma częstotliwościowego i widma w dziedzinie rzędów

Analizując Rys. 8 można zauważyć, że:

  • sygnał TSA dla wału wolnego jest znacznie odszumiony zarówno względem oryginalnego sygnału, jak i względem sygnału zresamplowanego,
  • sygnał TSA dla wału szybkiego jest znacznie odszumiony zarówno względem oryginalnego sygnału, jak i względem sygnału zresamplowanego,
  • sygnały TSA pokazują, że współpraca kolejnych par zębów kół zębatych za każdym razem generuje nieco inny komponent drgań.

Dodatkowo warto nadmienić, że ogólny kształt sygnału oryginalnego pokrywa się ogólnym kształtem sygnału wału wolnego, dlatego w przypadku wału szybkiego, sygnał zresamplowany i TSA jest rozciągnięty (zawiera mniej punktów w jednym obrocie). Przedstawiona analiza synchroniczna jest dość trudna w implementacji, ale jest niezwykle cenna podczas analizy układów napędowych z dużą ilością wałów, gdyż umożliwia uzyskanie znacznie czystszych sygnałów do analizy drgań na kolejnych przełożeniach.

Długo wyczekiwana matematyka dla gorliwego czytelnika

Kiedy pracujemy z widmami, dobrze jest znać podstawowe zasady ich parametryzacji. Punktem startowym jest zawsze sygnał oryginalny o długości T sekund zarejestrowany z częstotliwością próbkowania fs. Pamiętajmy, że pełna rozdzielczość widmowa jest odwrotnością czasu trwania sygnału (1/T), a zakres widmowy jest równy połowie częstotliwości próbkowania (fs/2). W Tabeli 1 przedstawiono, jak przytoczone zależności przekładają się na dziedzinę kąta i dziedzinę rzędów dla sygnału zresamplowanego. Tabela 2 ilustruje przykład liczbowy dla Tabeli 1.

Tabela 1 – Parametry sygnału zresamplowanego i jego widma w pełnej rozdzielczości

ParametrDziedzina czasuDziedzina rzędów
Długość sygnałuT [s]Nrot (ilość)
Próbkowaniefs (częstotliwość)Nsamp (ilość próbek na obrót)
Rozdzielczość (czas/kąt)dt = 1/fsd_rot = 1/Nsamp
Rozdzielczość widmowadf = 1/T (też fs/ilość_próbek)d_ord = 1/Nrot
Zakres widmowyfs/2Nsamp/2
Oś odciętych (czas/kąt)dt:dt:Td_rot:d_rot:Nrot
Oś odciętych (widmo)0:df:fs/20:d_ord:Nsamp/2

Tabela 2 – Parametry sygnału zresamplowanego i jego widma w pełnej rozdzielczości

ParametrDziedzina czasuDziedzina rzędów
Prędkość średnia2000 RPM
Długość sygnału10 [s]Nrot = 333,3
Próbkowanie25 kHzNsamp = 1500
Rozdzielczość (czas/kąt)dt = 0,00004 [s]d_rot = 0,00066
Rozdzielczość widmowadf = 0,1 Hzd_ord = 0,003 [ord]
Zakres widmowy12,5 kHz750 [ord]
Oś odciętych (czas/kąt)4e-5:4e-5:10d_rot:d_rot:Nrot
Oś odciętych (widmo)0:0,1:125000:0,003:750

Dla wału obracającego się z prędkością 2000 RPM, ilość obrotów w trakcie 10 s wynosi:

Nrot = Prędkość/60 * T = 2000/60 * 10 = 333,3 obroty

Wyznaczmy nową ilość próbek na obrót jako dwukrotną średnią ilości próbek na obrót. Oczywiście nie mamy podanych danych opisujących indywidualne obroty, więc posłużmy się ogólną zależnością średnią:

średnia ilość próbek na obrót N_avg = ilość próbek na sekundę fs / ilość obrotów w sekundzie (speed [Hz])

N_avg = fs / (Prędkość w Hz) = 25000/ (2000/60) = 25000 / 33,3 = 750

Nsamp = 2 * N_avg = 2 * 750 = 1500

Pozostałe wartości wynikają bezpośrednio z podstawienia do wzorów w Tabeli 1. W praktycznych zastosowaniach, dodatkowo zapewnia się, aby zarówno ilość próbek na obrót, jak i ilość obrotów były parzyste, a sygnał przycięty do pełnych obrotów, gdyż ma to pozytywny wpływ na długość obliczeń.Dodajmy jeszcze, że sygnał TSA jest obliczany poprzez uśrednianie danego sygnału zresamplowanego względem kolejnych obrotów wału (tj. sygnał, który zarejestrował 500 obrotów wału będzie wynikiem 500-krotnego uśrednienia). Dlatego dla sygnałów TSA, ilość punktów na obrót Nsamp jest taka sama, jak dla sygnału zresamplowanego, natomiast ilość obrotów Nrot jest równa 1.

Mity resamplingu

Za ciekawostkę można uznać fakt, że nowa ilość próbek na obrót Nsamp wyznaczona w kroku 3 ogólnego algorytmu (zob. sekcja „NA CZYM POLEGA RESAMPLING”), historycznie była najczęściej równa potędze liczby 2 najbliższej średniej ilości próbek na obrót w oryginalnym sygnale. Jest to związane z szybkością algorytmów obliczania FFT (w procesie dalszego wyznaczania widma w dziedzinie rzędów). Jednakże, od strony analitycznej, nowa ilość próbek na obrót:

  • powinna być większa, niż największa ilość próbek na obrót występująca w sygnale (gdyż inaczej będzie obecne niekorzystne zjawisko aliasingu),
  • jest tym lepsza, im jest większą wielokrotnością średniej liczby próbek na obrót w oryginalnym sygnale (ze względu na zmniejszanie się mocy listków bocznych, generowanych podczas splotu sygnałów w ramach obliczania resamplingu).

Podobnie, funkcje interpolacyjne wyższego rzędu (szczególnie pchip oraz spline) generują listki boczne o mniejszej mocy – czyli ogólnie mniej zakłócony („lepszy”) sygnał. Jednakże, z praktycznego punktu widzenia, zastosowanie zaawansowanych technik obliczeniowych często nie ma większego znaczenia w ramach oceny stanu technicznego maszyny, a dodatkowo znacznie wydłuża czas obliczeń. Z tego powodu, systemy przemysłowe często „naginają” trochę matematykę kosztem względnie niewielkich strat w jakości analizowanych sygnałów. Konkretnie, często nowa ilość próbek na obrót Nsamp jest równa najbliższej liczbie z predefiniowanego zbioru, dla którego dany procesor możliwie szybko liczy FFT (wcale nie muszą to być potęgi liczby 2, bowiem zdarzają się też liczby, dla których obliczenia trwają niezwykle długo). Ponadto, w ramach dwuetapowej interpolacji często stosuje się uproszczoną interpolację liniową  opartą na rozwiązaniu układu 2 równań z 2 niewiadomymi postaci y = ax +b, co jest rozwiązaniem nieco prymitywnym, ale skutecznym.

Dodajmy jeszcze, że resampling „poprawia” jedynie miejsce komponentów na osi widmowej, a zmiana ich amplitudy (widoczna jako korzystne zwiększenie amplitudy obserwowanych komponentów) jest wyłącznie konsekwencją tej operacji. Niestety, zdarza się, że o tym zapominamy i używamy resamplingu do analizy sygnałów, które były zarejestrowane przy znacznych zmianach prędkości obrotowej. Takie podejście jest ryzykowne, gdyż wprowadza błąd oceny amplitudy – przy dużej zmianie parametrów operacyjnych nie tylko zmienia się wartość wymuszeń, ale również zmieniają się (w sposób praktycznie dla nas nieznany) parametry modalne maszyny (a więc zmienia się jej funkcja odpowiedzi częstotliwościowej), co może mieć bardzo duży wpływ na zmianę amplitudy komponentów po resamplingu – zmianę, która z resamplingu nie wynika. Dlatego, podobnie jak w poście nr 8, zalecamy, aby w praktycznej diagnostyce technicznej dopuszczać resampling tylko w przypadkach, gdy maksymalne odchylenia prędkości obrotowej w procesowanym przebiegu nie przekraczają kilku procent.

Zastosowanie aparatury pomiarowej

Firma AMC VIBRO oferuje systemy, które pozwalają zarówno na automatyczny resampling oraz resampling na żądanie. W zależności od wersji produktu, systemy obliczają widmo w dziedzinie rzędów oraz widmo obwiedni w dziedzinie rzędów, jak również analizy wąskopasmowe, w tym analizy sygnałów TSA.

Tabela 3 Zestawienie urządzeń rodziny AVM pod kątem resamplingu

AVM 2000AVM 4000
Analiza synchroniczna✔️ (wybrane modele)✔️
Resampling na żądanie (max. 300 [s] przy fs = 25 kHz)✔️
Definicja analiz wąskopasmowych w dziedzinie rzędów (widmo OS)✔️ (wybrane modele)✔️
Definicja analiz wąskopasmowych w dziedzinie rzędów (widmo EOS)✔️
Definicja analiz TSA✔️

Polecamy